• 我的随机过程学得很差，所以再学一遍并认真写课后作业

基本概念

什么是随机过程

  • 每一个固定的$t$，$X(t,\omega)$是随机变量，$X_T=\{X(t,\omega),t\in T\}$为随机过程，也即随机变量族

  • $T$是指标集，离散、连续都可以

  • 状态空间：$X_T$所有可能的取值

分类

  • 独立增量过程

    $t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}, t_{i} \in T, 1 \leqslant i \leqslant n$，有$X\left(t_{1}\right), X\left(t_{2}\right)-X\left(t_{1}\right), X\left(t_{3}\right)-X\left(t_{2}\right), \cdots, X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)$相互独立

    • 平稳增量：$0 \leqslant s<t$有$X(t)-X(s)$的分布只依赖于$t-s$

  • 马尔可夫过程：将来与过去无关

    $P\left(X_{t} \in A | X_{t_{1}}=x_{1}, X_{t_{2}}=x_{2}, \cdots, X_{t_{n}}=x_{n}\right)=P\left(X_{t} \in A | X_{t_{n}}=x_{n}\right)$

  • 平稳过程

    • 宽平稳过程：$E(X(t))=m, \operatorname{cov}\left(X_{t}, X_{t+\tau}\right)=R(\tau)$，协方差不随时间变化而变化
    • 二阶矩过程：$\forall t \in T, D \left(X_{t}\right)$存在
    • 严平稳过程：$\forall t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n} \in T, h>0,\left(X_{t_{1}}, X_{t_{2}}, \cdots, X_{t_{n}}\right)$与$\left(X_{t_{1}+h}, X_{t_{2}+h}, \cdots, X_{t_{n}+h}\right)$有相同的联合分布

  • 鞅

    $\forall t \in T, \boldsymbol{E}|X(t)|<\infty$，且$\forall t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}<t_{n+1}$有$E\left(X\left(t_{n+1}\right) | X\left(t_{1}\right), X\left(t_{2}\right), \cdots, X\left(t_{n}\right)\right)=X\left(t_{n}\right)$

  • 更新过程

    $\left(X_{k}, k \geqslant 1\right)$为独立同分布的正的随机变量序列，$S_0 =0,\quad S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$，$N(t)=\max \left\{n ; n \geqslant 0, S_{n} \leqslant t\right\}$，则$\{N(t), t \geqslant 0\}$为更新过程

  • 计数过程