• 更新过程可以看作是泊松过程的推广

  • 泊松过程：$X_n=S_n-S_{n-1}$独立服从$\lambda$的指数分布

  • 更新过程：$X_n$服从一般分布

定义

  • $\left\{X_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$为非负的随机变量，有共同的分布$F$，$F(0)= P\left\{X_{n}=0\right\}<1$
  • $X_n$理解为第$n-1$与$n$个事件之间的时间，$\mu=E\left[X_{n}\right]=\int_{0}^{\infty} x d F(x)$
  • $N(t)=\sup \left\{n: S_{n} \leqslant t\right\}$称为更新过程

性质

  • $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{n}=\mu \quad(\text { a.s. })$
    • 推论：$P\left(\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\infty\right)=1$
    • $m(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F_{n}(t)<\infty \quad \forall t \geqslant 0$，这里$m(t)=E[N(t)]$，$F_n$是$S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$的分布
  • $P(N(\infty)=\infty)=1$
  • $P\left(\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\mu}\right)=1$

  • 瓦尔德等式：$\left\{X_{n}, n \geqslant 1\right\}$独立同分布，$\mu=E X_{n}<\infty$，$X_{n}$与$X$同分布，$T$是$X_n$的停时且$E T<\infty$，有$E\left\{\sum_{n=1}^{T} X_{n}\right\}=(E X)(E T)$

    • 停时：$\{T=n\}$只与$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$有关，与$X_{n+1}, X_{n+2}, \cdots$独立
    • 停时指具有某种与将来无关性质的随机时刻
    • https://baike.baidu.com/item/%E5%81%9C%E6%97%B6/5105457?fr=aladdin
    • 推论：$N(t)+1$是$\left\{X_{n}, n \geqslant 1\right\}$的停时，$E\left[S_{N(t)+1}\right]=\mu[m(t)+1]$当$E X_{n}=\mu<\infty$

  • 基本更新定理：$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{m(t)}{t}=\frac{1}{\mu}$

    • 上面第三条是指依概率1，更新速率等于$1/\mu$，基本更新定理指平均更新速率收敛于$1/\mu$

  • $N(t)$渐近正态

  • 布莱克威尔定理：

    1. 若$F$不是格点的，$\forall a \geqslant 0, t \rightarrow \infty$有$m(t+a)-m(t) \rightarrow a / \mu$
    2. 若$F$是格点的，周期为$d$，有$n \rightarrow \infty$，在$nd$时刻更新的次数的均值$\rightarrow d / \mu$
    • 格点：$\exists\ d \geqslant 0$ 使得$\sum_{n=0}^{\infty} P\{X=n d\}=1$，$X,F$称为格点的

  • 关键更新定理：

    • 若$F$不是格点的，且$h(t)$直接黎曼可积，则$\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(t-x) d m(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{h(t)}{\mu} d t$