不等式限制

尝试最小化方程：$f: C \rightarrow \mathbf{R}$ on a set $C$ in $\mathbf{E}$
局部最小值$\bar{x}$：$f(x) \geq f(\bar{x})$ for all points $x$ in $C$ close to $\bar{x}$
方向导数：$f^{\prime}(\bar{x} ; d)=\lim _{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x}+t d)-f(\bar{x})}{t}$，$d \in \mathbf{E}$

一阶必要条件

$C$是$E$上的凸集，$\bar{x}$是$f$的局部最小值，则$\forall x \in C \ f^\prime (\bar{x}; x- \bar{x}) \ge 0$，特别的，$f$在$\bar{x}$可微，$-\nabla f(\bar{x}) \in N_{C}(\bar{x})$

一阶充分条件

$C$是$E$上的凸集，$f$是凸函数，则$\forall x \in C \ f^\prime (\bar{x}; x- \bar{x})$在$[-\infty, + \infty)$存在。如果$\forall x \in C,f^\prime (\bar{x}; x- \bar{x}) \ge 0$或者$-\nabla f(\bar{x}) \in N_{C}(\bar{x})$，则$\bar{x}$是全局最小值

二阶条件

$f$二次可微：$\bar{x}$是局部最小值，则$\nabla^{2} f(\bar{x})$半正定；当$\nabla^{2} f(\bar{x})$正定，$\bar{x}$是局部最小值

定理

任意$a^{0}, a^{1}, \ldots, a^{m}$ of $\mathbf{E}$，下面只有其中一个有解

$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{m} \lambda_{i} a^{i} &=0, \quad \sum_{i=0}^{m} \lambda_{i}=1, \quad 0 \leq \lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m} \in \mathbf{R} \\\left\langle a^{i}, x\right\rangle &< 0 \quad \text { for } i=0,1, \ldots, m, \quad x \in \mathbf{E} \end{aligned}$

Max-functions

考虑Max-functions $g(x)$的局部最小值

$g(x)=\max _{i=0,1, \ldots, m}\left\{g_{i}(x)\right\}$

即使$g_i$是光滑的，$g$不一定光滑