生存分析

• 今天用到了生存分析，但生存分析好久之前才学的，有点忘了，所以再学一遍，顺便记录下

基本概念

• 生存分析不一定要分析死亡，可以把某些时间当作感兴趣的事件（event）。这里用HIV作为例子。

library(speff2trial)
library(survival) # 生存分析R包
data(ACTG175)

• 删失（censoring）：没办法观察到事件（event）
  • 比如观察时间已经到了，事件还没有发生
  • 观察期内，个体退出了，没法观察了
  • 事件在某个时段内发生了，但不知道具体是啥时候
• 截断（truncation）：
  • 每个事件的开始（时间起点）在观察期之前，那么就不知道真正的生存时间
• 生存函数，$T^{}$是生存时间（如HIV的感染时间）。假设$T^ \sim f(t), F(t)$，那么有生存函数$S(t) = 1- F(t)$

$$\begin{aligned} S(t) &=P\left(T^{*}>t\right) \\ &=1-P\left(T^{*} \leqslant t\right) \end{aligned}$$

• 风险函数，有的教材用$h(t)$代替$\lambda(t)$

$$\lambda(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{P\left(t \leqslant T^{*}<t+h | T^{*} \geqslant t\right)}{h} = \frac{f(t)}{S(t)}$$

• 期望存活时间

$$r(t)=E\left[T^{*}-t | T^{*} \geqslant t\right]=\frac{\int_{t}^{\infty} S(u) d u}{S(t)}$$

• Restricted mean Survival time on $[0, t]$

$$\text{RMST} = \int_{0}^{t}S(t) d u$$

Kaplan-Meier(Product limit) Estimator of S(t)

• 用KM的方法估计$S(t)$
• 假设有观察值$\{ (T_i, \sigma_i), i = 1, \dots, n \}$，其中$T_{i}=\left\{\begin{array}{ll}
  T_{i}^{} & \sigma_{i}=1 \\
  C_{1}^{} & \sigma_{i}=0
  \end{array}\right.$
• 这里的$T_i$是观察到的生存时间，$T_i^$是真实的生存时间，$C_i^$是删失之前的观察到的生存时间，$\sigma_i$指第$i$个是否删失

• 以后补个图

• Nelson-Aalen Estimator of $\Lambda(t)$

• $\hat{S(t)}$和$\hat{\Lambda(t)}$的方差估计

log rank test

• 这个检验，用于检查生存曲线是否相互独立。它类似于卡方检验

Y = Surv(time = , event = )

混淆与交互

• 混淆
• 交互
• 解决方法：

生存模型

• Weibull模型
• log-logistic模型
• Accelerated Failure Time（AFT加速失效模型）
• cox模型

fit = coxph()